如图:P为等边三角形ABC的任意一点,连接　PA　PB　 PC 求证:ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＜２ＡＢ

过点P作DE//BC,交AB于D,交AC于E
则三角形ADE为等边三角形.AD=DE=AE
∠APE=∠ADE+∠DAP
     =∠AED+∠DAP
所以∠APE＞∠AED.AP＜AE
PB<BD+DP,PC<PE+CE.两式相加
PB+PC<BD+CE+DE.
PB+PC<BD+CE+AD.
PB+PC<AB+CE
所以
PB+PC+PA<AB+CE+AE.
PB+PC+PA<AB+AC可得证.

呵呵，其实这个问题挺简单的，如果你的思路对的话。
我的做法是
  命题：正三角形的中心到各顶点的距离和最大

    =>  sqrt(3)*a < 2*a

    =>  sqrt(3) < 2

  问题：证明上述命题的正确性
易知，等边三角形中的外接圆与等边三角形的关系，那么当且仅当当p点是圆心时外接圆的面积最大，而此时pa,pb,pc都是半径，就是pa=pb=pc时和最大，
很简单，由等边三角形的关系，pa+pb+pc=sqrt(3)*a<2a
其中sqrt表示根号。

   

这是一道初二题目.学生只能用这样的知识来解.

过点P作DE//BC,交AB于D,交AC于E
则三角形ADE为等边三角形.AD=DE=AE
∠APE=∠ADE+∠DAP
　　 =∠AED+∠DAP
所以∠APE＞∠AED.AP＜AE
PB<BD+DP,PC<PE+CE.两式相加
PB+PC<BD+CE+DE.
PB+PC<BD+CE+AD.
PB+PC<AB+CE
所以
PB+PC+PA<AB+CE+AE.
PB+PC+PA<AB+AC可得证.

命题：正三角形的中心到各顶点的距离和最大

　　=>　sqrt(3)*a < 2*a

　　=>　sqrt(3) < 2

　问题：证明上述命题的正确性
易知，等边三角形中的外接圆与等边三角形的关系，那么当且仅当当p点是圆心时外接圆的面积最大，而此时pa,pb,pc都是半径，就是pa=pb=pc时和最大，
很简单，由等边三角形的关系，pa+pb+pc=sqrt(3)*a<2a
其中sqrt表示根号。